Ortografía y uso correcto en español
Escritura correcta
alegremente
Los adverbios terminados en -mente se forman a partir del adjetivo manteniendo la ortografía original del adjetivo (incluido el acento si lo lleva). No lleva guión ni espacio entre la raíz y el sufijo.
Se emplea como adverbio para indicar que una acción se lleva a cabo con alegría o de manera alegre. Se escribe sin guión ni espacio y conserva la tilde del adjetivo si la tiene (en este caso, no lleva tilde).
Ambas son adverbios de modo, pero 'alegremente' proviene del adjetivo 'alegre' y se usa para describir acciones realizadas con alegría; 'felizmente' proviene de 'feliz' y se usa para expresar una condición de felicidad.
'Alegría' es un sustantivo que designa el sentimiento; 'alegremente' es un adverbio que modifica al verbo, indicando la forma en que se realiza la acción.